Fórmulas básicas em Prograssão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (PA) segue uma organização com regras simples que ajudam a encontrar qualquer número da sequência. Para isso, usamos algumas fórmulas básicas que envolvem o primeiro termo, a razão e o termo geral da sequência. Conhecer essas fórmulas facilita bastante na hora de resolver problemas práticos.

O que é o Primeiro Termo?

O primeiro termo de uma PA é, como o nome já diz, o primeiro número da sequência. Ele serve como ponto de partida para encontrar os demais termos. Por exemplo, se a sequência começa com 5, então o primeiro termo é 5. Vamos chamá-lo de $ a_1 $.

O que é a Razão?

A razão de uma PA é o número que sempre adicionamos (ou subtraímos) para chegar ao próximo termo. Esse valor é constante em toda a sequência. Se a PA for, por exemplo, 3, 6, 9, 12..., a razão é 3, pois adicionamos 3 ao primeiro termo para obter o segundo, e assim por diante. A razão é geralmente representada pela letra $ r $.

Termo Geral da PA

O termo geral de uma PA é uma fórmula que nos permite encontrar qualquer termo da sequência, mesmo sem precisar escrever todos os números anteriores. Ele é especialmente útil quando queremos saber, por exemplo, o 20º ou 50º número da sequência sem ter que calcular um por um.

A fórmula do termo geral, ou $ a_n $, é:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

Onde:

• $ a_n $ é o termo que queremos encontrar,
• $ a_1 $ é o primeiro termo da PA,
• $ n $ é a posição do termo que queremos encontrar,
• $ r $ é a razão.

Exemplo Prático:
Se uma PA começa com o número 2 e tem razão 4, e queremos encontrar o 10º termo da sequência:

$a_{10} = 2 + (10 - 1) \cdot 4$

$a_{10} = 2 + 9 \cdot 4$

$a_{10} = 2 + 36 = 38$

Assim, o 10º termo é 38.

Exercícios Práticos

1. Qual é o 7º termo de uma PA que começa com 3 e tem razão 5?

Usando a fórmula:

$a_7 = 3 + (7 - 1) \cdot 5$

$a_7 = 3 + 6 \cdot 5$

$a_7 = 3 + 30 = 33$

O 7º termo é 33.

1. Qual é a razão de uma PA onde o primeiro termo é 10 e o quinto termo é 26?

Sabemos que o termo geral para o 5º termo é:

$a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot r$

Substituímos os valores conhecidos:

$26 = 10 + 4 \cdot r$

$26 - 10 = 4r$

$16 = 4r \Rightarrow r = 4$

Então, a razão é 4.

1. Uma PA tem o primeiro termo igual a 7 e razão de 2. Qual é o 15º termo?

$ a_{15} = 7 + (15 - 1) \cdot 2 $

$ a_{15} = 7 + 14 \cdot 2 $

$ a_{15} = 7 + 28 = 35 $

O 15º termo é 35.

Essas fórmulas ajudam a resolver problemas de PA rapidamente, economizando tempo e esforço!